📒 12. Sınıf Ders Notları

1Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

• Tanım: aˣ = b ise x = logₐb (a > 0, a ≠ 1, b > 0).
• Kurallar: logₐ(x·y) = logₐx + logₐy, logₐ(x/y) = logₐx − logₐy, logₐ(xⁿ) = n·logₐx.
• Taban değiştirme: logₐb = log b / log a; ayrıca a^(logₐx) = x ve logₐa = 1, logₐ1 = 0.
• ln x e tabanındaki logaritmadır (e ≈ 2,718); log x 10 tabanındadır.
• a > 1 ise logₐx artan, 0 < a < 1 ise azalan fonksiyondur. Eşitsizlikte taban 1'den küçükse yön değişir.

Örnek: log₂8 + log₃9 = 3 + 2 = 5.

💡 Unutma: Logaritmanın içi her zaman pozitif olmalıdır; denklem çözünce kökleri kontrol et.

2Diziler

• Aritmetik dizi: Ardışık terimler arasındaki fark (r) sabittir. aₙ = a₁ + (n − 1)·r.
• Aritmetik dizide ilk n terim toplamı: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2.
• Geometrik dizi: Ardışık terimlerin oranı (r) sabittir. aₙ = a₁·rⁿ⁻¹.
• Geometrik dizide ilk n terim toplamı: Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1.
• Aritmetik dizide ortadaki terim, uçlardaki terimlerin aritmetik ortalamasıdır: a₅ = (a₃ + a₇)/2.

Örnek: 3, 7, 11, ... dizisinde r = 4, a₁₀ = 3 + 9·4 = 39.

3Trigonometri

• Toplam-fark formülleri: sin(a ± b) = sin a·cos b ± cos a·sin b; cos(a ± b) = cos a·cos b ∓ sin a·sin b.
• İki kat açı formülleri: sin 2a = 2·sin a·cos a; cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a.
• Temel özdeşlik: sin²x + cos²x = 1; tan x = sin x / cos x.
• Trigonometrik denklemler: sin x = sin a ise x = a + 2kπ veya x = π − a + 2kπ; cos x = cos a ise x = ±a + 2kπ; tan x = tan a ise x = a + kπ.
• sin ve cos'un periyodu 2π, tan ve cot'un periyodu π'dir.

💡 Unutma: sin 30° = ½, cos 60° = ½, sin 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = 1.

4Limit ve Süreklilik

• Bir fonksiyonun x = a'da limitinin olması için sağdan ve soldan limitler eşit olmalıdır.
• 0/0 belirsizliği çarpanlara ayırma, sadeleştirme ya da eşlenikle çarpma yoluyla giderilir.
• Sonsuzda limit: Polinomların oranında en büyük dereceli terimlerin katsayılarına bakılır.
• f(x), x = a'da süreklidir ⟺ f(a) tanımlı ve lim f(x) = f(a).

Örnek: lim (x→2) (x² − 4)/(x − 2) = lim (x + 2) = 4.

5Türev ve Uygulamaları

• Temel kurallar: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (c)′ = 0, (f·g)′ = f′g + fg′, (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
• Zincir kuralı: [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x).
• f′(a), eğrinin x = a noktasındaki teğetinin eğimidir. Teğet denklemi: y − f(a) = f′(a)·(x − a).
• f′ > 0 olan aralıkta f artan, f′ < 0 olan aralıkta azalandır; f′ işaret değiştirdiği yerde yerel ekstremum vardır.
• f″ > 0 ise eğri yukarı bükey (çukur), f″ < 0 ise aşağı bükeydir; büküm değiştiren nokta dönüm noktasıdır.

💡 Unutma: Maksimum-minimum (optimizasyon) problemlerinde fonksiyonu kur, türevini sıfıra eşitle.

6İntegral

• Belirsiz integral: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
• İntegral türevin tersidir: ∫f′(x) dx = f(x) + C.
• Belirli integral: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
• Belirli integral, eğri ile x ekseni arasındaki alanı verir; eksenin altında kalan alan negatif çıkar.
• Değişken değiştirme yöntemi zincir kuralının tersidir.

Örnek: ∫₀² 3x² dx = x³ |₀² = 8 − 0 = 8.

7Çemberin Analitik İncelenmesi

• Merkezi M(a, b), yarıçapı r olan çemberin denklemi: (x − a)² + (y − b)² = r².
• Genel denklem: x² + y² + Dx + Ey + F = 0; merkez (−D/2, −E/2), r = ½·√(D² + E² − 4F).
• Doğru ile çemberin durumu: merkezin doğruya uzaklığı d olsun; d < r kesişir (2 nokta), d = r teğet, d > r kesişmez.

💡 Unutma: Çemberin merkezden geçen her kirişi çaptır; teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir.